הכנסת איבר בין כל שני איברים – בגרות קיץ 2022 מועד א׳סדרות 571 · שיעור 47
קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 2 · סעיפים א , ב , ג
שיעור 47: הכנסת איבר בין כל שני איברים – בגרות קיץ 2022 מועד א׳
פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – המנה של סדרה II
3סעיף א (2) – שתי הסדרות מתכנסות
4סעיף ב – המנה של סדרה II
5סעיף ג – סכום האיברים במקומות שמתחלקים ב־5
📄 נוסח השאלה
סדרה I היא סדרה הנדסית אין־סופית שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , … ומנתה היא 9 · r2.
נתון: 0 < r < 13.
בין כל שני איברים בסדרה I הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית חדשה יורדת, סדרה II, שאיבריה הם b1 , b2 , b3 , … ומנתה היא q.
א. (1) הביעו את q באמצעות r.
(2) הסבירו מדוע שתי הסדרות I ו־II מתכנסות.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי סכום סדרה II גדול פי 43 מסכום סדרה I.
ב. חשבו את q.
נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה II הוא 12.
ג. מצאו את סכום כל האיברים של סדרה II במקומות שמתחלקים ב־5 (b5 , b10 , b15 , …).
סעיף א (1) – המנה של סדרה II
נסמן את האיברים של סדרה II ב־bn ואת המנה שלה ב־q.
הכניסו איבר בין כל שני איברים של סדרה I, ולכן איברי סדרה I נמצאים בסדרה II במקומות האי־זוגיים: a1 = b1 , a2 = b3 , …
a2 = a1 · 9r2
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
b3 = b1 · q2
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
מכיוון ש־a1 = b1 ו־a2 = b3:
q2 = 9r2
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
סעיף א (1) – המנה של סדרה II · המשך
q2 = 9r2
q = 3r או q = −3r
סדרה II יורדת, ולכן כל איבריה באותו סימן והמנה חיובית (במנה שלילית הסימנים מתחלפים והסדרה אינה יורדת).
לכן q = 3r (ו־r חיובי).
✅ פתרון סופי: q = 3r
סעיף א (2) – שתי הסדרות מתכנסות
סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת כאשר המנה בין −1 ל־1 (ושונה מ־0).
📐 נוסחה: תנאי התכנסות
סדרה II:
0 < r < 13
0 < 3r < 1
המנה 3r בין 0 ל־1, ולכן סדרה II מתכנסת.
סדרה I:
📐 נוסחה: תנאי התכנסות
−1 < q < 1 , q ≠ 0
סעיף א (2) – שתי הסדרות מתכנסות · המשך
סדרה I:
0 < r2 < 19
0 < 9r2 < 1
המנה 9r2 בין 0 ל־1, ולכן גם סדרה I מתכנסת.
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – המנה של סדרה II
המנה של סדרה I היא 9r2 = (3r)2 = q2 , והאיבר הראשון של שתיהן b1.
SI = b11 − q2
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
SII = b11 − q
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
לפי הנתון:
SII = 43 · SI
b11 − q = 43 · b1(1 − q)(1 + q)
📐 נוסחה: הפרש ריבועים
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
S = a11 − q
−1 < q < 1 , q ≠ 0
−1 < q < 1 , q ≠ 0
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
S = a11 − q
−1 < q < 1 , q ≠ 0
−1 < q < 1 , q ≠ 0
📐 נוסחה: הפרש ריבועים
1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
סעיף ב – המנה של סדרה II · המשך
b11 − q = 43 · b1(1 − q)(1 + q)
📐 נוסחה: הפרש ריבועים
נחלק את שני האגפים ב־b11 − q (שונה מ־0):
1 = 43(1 + q)
3(1 + q) = 4
1 + q = 43
q = 13
📐 נוסחה: הפרש ריבועים
1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
סעיף ב – המנה של סדרה II · המשך
q = 13
✅ פתרון סופי: q = 13
סעיף ג – סכום האיברים במקומות שמתחלקים ב־5
מציאת b1: האיברים במקומות הזוגיים b2 , b4 , b6 , … הם סדרה הנדסית:
איבר ראשון: b2 = b1 · q = b13
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
מנה: q2 = 19
b131 − 19 = 12
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
b13 : 89 = 12
b13 · 98 = 12
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
S = a11 − q
−1 < q < 1 , q ≠ 0
−1 < q < 1 , q ≠ 0
סעיף ג – סכום האיברים במקומות שמתחלקים ב־5 · המשך
b13 · 98 = 12
3b18 = 12
b1 = 32
האיברים במקומות שמתחלקים ב־5: b5 , b10 , b15 , …
b5 = 32 · (13)4 = 3281
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
מנה: q5 = (13)5 = 1243
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
סעיף ג – סכום האיברים במקומות שמתחלקים ב־5 · המשך
מנה: q5 = (13)5 = 1243
S = 32811 − 1243
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
S = 3281 · 243242
S = 32 · 3242 = 96242 = 48121 ≈ 0.397
✅ פתרון סופי: 48121 ≈ 0.397
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת
S = a11 − q
−1 < q < 1 , q ≠ 0
−1 < q < 1 , q ≠ 0
📌 סיכום התשובות
סעיף א (1)
q = 3r
סעיף א (2)
הסבר
סעיף ב
q = 13
סעיף ג
48121
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא